题目

已知定义在[0，+∞）上的函数f（x）满足f（x）=2f（x+2），当x∈[0，2）时，f（x）=﹣2x2+4x．设f（x）在[2n﹣2，2n）上的最大值为an（n∈N*），且{an}的前n项和为Sn，则Sn=（　　） A．      B．      C．   D． 答案：B【考点】数列与函数的综合． 【分析】根据定义在[0，+∞）上的函数f（x）满足f（x）=2f（x+2），可得f（x+2）=f（x），从而f（x+2n）=f（x），利用当x∈[0，2）时，f（x）=﹣2x2+4x，可求（x）在[2n﹣2，2n）上的解析式，从而可得f（x）在[2n﹣2，2n）上的最大值为an，进而利用等比数列的求和公式，即可求得{an}的前n项和为Sn． 【解答】解：∵定义在[0，+∞）上的函数f（x）满足f（x）=2f（x+2）， ∴f（x+2）=f（x）， ∴f（x+4）=f（x+2）=f（x），f（x+6）=f（x+4）=f（x），…f（x+2n）=f（x） 设x∈[2n﹣2，2n），则x﹣（2n﹣2）∈[0，2） ∵当x∈[0，2）时，f（x）=﹣2x2+4x． ∴f[x﹣（2n﹣2）]=﹣2[（x﹣（2n﹣2）]2+4[x﹣（2n﹣2）]． ∴=﹣2（x﹣2n+1）2+2 ∴f（x）=21﹣n[﹣2（x﹣2n+1）2+2]，x∈[2n﹣2，2n）， ∴x=2n﹣1时，f（x）的最大值为22﹣n ∴an=22﹣n ∴{an}表示以2为首项，为公比的等比数列 ∴{an}的前n项和为Sn== 故选B．

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