题目

（13分）         如图，在底面是正方形的四棱锥P—ABCD中，PA⊥面ABCD，BD交AC于点E，F是PC中点，G为AC上一点.    （I）求证：BD⊥FG；    （II）确定点G在线段AC上的位置，使FG//平面PBD，并说明理由.      （III）当二面角B—PC—D的大小为时，求PC与底面ABCD所成角的正切值. 答案：（13分） 证明：（I）面ABCD，四边形ABCD是正方形， 其对角线BD，AC交于点E， ∴PA⊥BD，AC⊥BD. ∴BD⊥平面APC， 平面PAC， ∴BD⊥FG                   …………7分      （II）当G为EC中点，即时， FG//平面PBD，    …………9分 理由如下： 连接PE，由F为PC中点，G为EC中点，知FG//PE， 而FG平面PBD，PB平面PBD， 故FG//平面PBD.  …………13分    （III）作BH⊥PC于H，连结DH， ∵PA⊥面ABCD，四边形ABCD是正方形， ∴PB=PD， 又∵BC=DC，PC=PC， ∴△PCB≌△PCD， ∴DH⊥PC，且DH=BH， ∴∠BHD主是二面角B—PC—D的平面角，   …………11分 即 ∵PA⊥面ABCD， ∴∠PCA就是PC与底面ABCD所成的角       …………12分 连结EH，则 ∴PC与底面ABCD所成角的正切值是     …………14分     解：以A为原点，AB，AD，PA所在的直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系如图所示， 设正方形ABCD的边长为1，则A（0，0，0），B（1，0，0），C（1，1，0）     D（0，1，0），P（0，0，a）（a>0）,    （I）                   …………5分    （II）要使FG//平面PBD，只需FG//EP， 而， 由可得，解得          …………7分 故当时，FG//平面PBD …………9分 设平面PBC的一个法向量为 则，而 ，取z=1，得， 同理可得平面PBC的一个法向量 设所成的角为0， 则 即                 …………12分 ∵PA⊥面ABCD，∴∠PCA就是PC与底面ABCD所成的角，             …………14分

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