题目

如右图,已知空间四边形ABCD的每条边和对角线的长都等于a,点M,N分别是边AB,CD的中点.(1)求证:MN为AB和CD的公垂线;(2)求MN的长;(3)求异面直线AN与MC所成角的余弦值. 答案：解：设=p,=q，=r，(1)证明：=（）-=(q+r-p),所以·=（q+r-p）·p=(q·p+r·p-p2)=(a2·cos60°+a2·cos60°-a2)=0.所以MN⊥AB，同理可证MN⊥CD.所以MN为AB与CD的公垂线.(2)解:由(1)可知=(q+r-p),所以||2=()2=(q+r-p)2=［q2+r2+p2+2(q·r-q·p-r·p)］=［a2+a2+a2+2(--)］=×2a2=.所以||=a.所以MN的长度为a.(3)解:设向量与的夹角为θ,因为=()=(q+r),=-=q-p,所以·=(q+r)·(q-p)=(q2-q·p+r·q-r·p)=(a2-a2·cos60°+a2cos60°-a2·cos60°)=(a2-+-)=.又因为||=||=a,所以·=||·||·cosθ=a·a·cosθ=.所以cosθ=.所以向量与的夹角余弦值为.从而异面直线AN,MC所成角的余弦值为.

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