题目

已知△ABC的三个内角为A，B，C，向量m=（cosA，-sinB），n=（cosB，sinA）满足m·n=cosC． （Ⅰ）求证：△ABC是直角三角形； （Ⅱ）若AC=，BC=6，P是△ABC内的一点，且∠APC=∠BPC=，设∠PAC=，求． 答案：解：（Ⅰ）∵m=（cosA，-sinB），n=（cosB，sinA）满足m·n=cosC ∴cosAcosB-sinBsinA=cosC    ∴cos(A+B)=cosC     ∴cos(π-C)=cosC，即-cosC=cosC，即cosC=0   又C∈(0，π) ∴C=  ∴△ABC是直角三角形   （Ⅱ）在△PAC中，AC=，∠PAC=，∠APC=， 由正弦定理，有       ①   在△PBC中，BC=6，∠BPC=，∠PCB=-∠PCA= ∠PBC=  由正弦定理，有  ② ①÷②，得   ∴   ∴，即∴  

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