题目

如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的边OA在y轴的正半轴上，OC在x轴的正半轴上，∠AOC的平分线交AB于点D，E为BC的中点，已知A（0，4）、C（5，0），二次函数y=x2+bx+c的图象抛物线经过A，C两点． （1）求该二次函数的表达式； （2）F、G分别为x轴，y轴上的动点，顺次连接D、E、F、G构成四边形DEFG，求四边形DEFG周长的最小值； （3）抛物线上是否在点P，使△ODP的面积为12？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 答案：解答： 解：（1）将A（0，4）、C（5，0）代入二次函数y=x2+bx+c，得 ， 解得． 故二次函数的表达式y=x2﹣x+4； （2）如图： 延长EC至E′，使E′C=EC，延长DA至D′，使D′A=DA，连接D′E′，交x轴于F点，交y轴于G点， GD=GD′EF=E′F， （DG+GF+EF+ED）最小=D′E′+DE， 由E点坐标为（5，2），D（4，4），得D′（﹣4，4），E（5，﹣2）． 由勾股定理，得 DE==，D′E′==， （DG+GF+EF+ED）最小=D′E′+DE=+； （3）如下图： OD=． ∵S△ODP的面积=12， ∴点P到OD的距离==3． 过点O作OF⊥OD，取OF=3，过点F作直线FG∥OD，交抛物线与点P1，P2， 在Et△OGF中，OG===6， ∴直线GF的解析式为y=x﹣6． 将y=x﹣6代入y=得：x﹣6=， 解得：，， 将x1、x2的值代入y=x﹣6得：y1=，y2= ∴点P1（，），P2（，） 如下图所示： 过点O作OF⊥OD，取OF=3，过点F作直线FG交抛物线与P3，P4， 在Rt△PFO中，OG==6 ∴直线FG的解析式为y=x+6， 将y=x+6代入y=得：x+6= 解得：， y1=x1+6=，y2=x2+6= ∴p3（，），p4（，） 综上所述：点P的坐标为：（，）或（，）或（，）或（，）． 点评： 本题主要考查的是二次函数的综合应用，求得点P到OD的距离是解题的关键，解得此类问题通常可以将函数问题转化为方程或方程组的问题．

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