题目

椭圆E：+=1（a＞b＞0）的离心率为，且以原点为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆与直线x﹣y+=0相切． （1）求椭圆E的方程； （2）已知直线l过点M（﹣，0）且与开口向上，顶点在原点的抛物线C切于第二象限的一点N，直线l与椭圆E交于A、B两点，与y轴交于D点，若=λ，=μ，且λ+μ=﹣4，求抛物线C的标准方程． 　 　 答案： 解：（1）由题意知e==，， 即a=b…（1分） 又以原点为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆与直线x﹣y+=0相切， ∴b==1，…（2分） ∴a=， 故椭圆的方程为…（4分） （2）设抛物线C的方程为y=ax2（a＞0），直线l与抛物线的切点为N（x0，ax02） ∵y′=2ax，∴切线l的斜率为2ax0， ∴切线方程为y﹣ax02=2ax0（x﹣x0）， ∵直线l过点M（﹣，0）， ∴﹣ax02=2ax0（﹣﹣x0）， ∵点N在第二象限，∴x0＜0， 解得x0=﹣1．∴N（﹣1，a）． ∴直线l的方程为y=﹣2ax﹣a…（8分） 代入椭圆方程整理得（1+8a2）x2+8a2x+2a2﹣2=0． 设A（x1，y1），B（x2，y2）． ∴x1+x2=﹣，x1x2=…（10分） 由=λ，=μ， 得λ=，μ= ∴λ+μ=+==﹣4， ∵a＞0， ∴a= ∴抛物线的标准方程为x2=y…（13分）

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