题目

已知数列{an}的前n项和为Sn，且a1=1，Sn=n2an（n∈N*）． （1）写出S1，S2，S3，S4，并猜想Sn的表达式； （2）用数学归纳法证明你的猜想，并求出an的表达式． 答案：【考点】RG：数学归纳法；F1：归纳推理． 【分析】（1）先根据数列的前n项的和求得S1，S2，S3，S4，可知分母和分子分别是等差数列进而可猜想出Sn． （2）用数学归纳法证明数列问题时分为两个步骤，第一步，先证明当n=1时，结论显然成立，第二步，先假设当n=k+1时，有Sk=，利用此假设证明当n=k+1时，结论也成立即可． 【解答】解：（1）：∵a1=1，Sn=n2an，∴S1=a1=1， 当n=2时，S2=a1+a2=4a2，解得a2=，S2=1+=， 当n=3时，S3=a1+a2+a3=9a3，解得a3=，S3=1++==， 当n=4时，S4=a1+a2+a3+a4=16a4，解得a4=，S4=， ∴Sn= （2）下面用数学归纳法证 ①当n=1时，结论显然成立． ②假设当n=k时结论成立，即Sk=， 则当n=k+1时，则Sk+1=（k+1）2ak+1=（k+1）2（Sk+1﹣Sk）， ∴（k2+2k）Sk+1=（k+1）2Sk=（k+1）2， ∴Sk+1= 故当n=k+1时结论也成立． 由①、②可知，对于任意的n∈N*，都有Sn=， ∵Sn=n2an， ∴an=== 　

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