题目

（本小题满分16分） 已知椭圆：的离心率为，直线：与椭圆相切． （1）求椭圆的方程； （2）设椭圆的左焦点为，右焦点为，直线过点且垂直与椭圆的长轴，动直线垂直于直线于点，线段的垂直平分线交于点，求点的轨迹的方程； （3）若，，是上不同的点，且，求实数的取值范围． 答案：（本小题满分16分） 解：（1）因为，所以，       椭圆的方程可设为·····································2分       与直线方程联立，消去，可得，       因为直线与椭圆相切，所以，       又因为，所以，       所以，椭圆的方程为；····································4分  （2）由题意可知，，       又为点到直线的距离，·······································5分         所以，点到直线的距离与到点的距离相等，即点的轨迹是以直线为准线，点为焦点的抛物线，···········································7分       因为直线的方程为，点的坐标为，       所以，点的轨迹的方程为；································9分  （3）由题意可知点坐标为·········································10分       因为，所以，       即···································11分       又因为，       所以，       因为，所以，····················13分       方法一：整理可得：，               关于的方程有不为2的解，所以                    ，且               所以， 且               解得的取值范围为或．······················16分       方法二：整理可得：，               当时，                 又因为，所以               当时，               所以，的取值范围为或．····················16分

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