题目

已知F1，F2分别为椭圆=1（a＞b＞0）左、右焦点，点P（1，y0）在椭圆上，且PF2⊥x轴，△PF1F2的周长为6； （1）求椭圆的标准方程； （2）E、F是曲线C上异于点P的两个动点，如果直线PE与直线PF的倾斜角互补，证明：直线EF的斜率为定值，并求出这个定值． 　 答案：【考点】直线与圆锥曲线的综合问题． 【专题】综合题；圆锥曲线的定义、性质与方程． 【分析】（1）利用点P（1，y0）在椭圆上，且PF2⊥x轴，△PF1F2的周长为6，求出a，b，c，即可求椭圆的标准方程； （2）设直线PE方程代入椭圆方程，得（3+4k2）x2+4k（3﹣2k）x+4（﹣k）2﹣12=0，求出E，F的坐标，由此能证明直线EF的斜率为定值． 【解答】解：（1）由题意，F1（﹣1，0），F2（1，0），c=1，… C△=|PF1|+|PF2|+2c=2a+2c=8… ∴… ∴椭圆方程为… （2）由（1）知，设直线PE方程：得y=k（x﹣1）+，代入， 得（3+4k2）x2+4k（3﹣2k）x+4（﹣k）2﹣12=0… 设E（xE，yE），F（xF，yF）． ∵点P（1，）在椭圆上， ∴xE=，yE=kxE+﹣k，… 又直线PF的斜率与PE的斜率互为相反数，在上式中以﹣k代k， 可得xF=，yF=﹣kxF++k，… ∴直线EF的斜率kEF==． 即直线EF的斜率为定值，其值为… 【点评】本题考查椭圆方程的求法，考查直线EF的斜率为定值的证明，考查直线与椭圆的位置关系，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题． 　

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