题目

如图所示，四棱锥P—ABCD的底面是边长为a的菱形，∠A＝60°，PC⊥平面ABCD，PC＝a,E是PA的中点. (1)求证平面BDE⊥平面ABCD.(2)求点E到平面PBC的距离.(3)求二面角A—EB—D的平面角大小. 答案：解析:(1)设O是AC，BD的交点，连结EO. ∵ABCD是菱形，∴O是AC、BD的中点， ∵E是PA的中点，∴EO∥PC，又PC⊥平面ABCD， ∴EO⊥平面ABCD，EO平面BDE，∴平面BDE⊥平面ABCD. (2)EO∥PC，PC平面PBC， ∴EO∥平面PBC，于是点O到平面PBC的距离等于E到平面PBC的距离. 作OF⊥BC于F， ∵EO⊥平面ABCD，EO∥PC，PC平面PBC，∴平面PBC⊥平面ABCD，于是OF⊥平面PBC，OF的长等于O到平面PBC的距离. 由条件可知，OB＝,OF＝×＝a，则点E到平面PBC的距离为a. (3)过O作OG⊥EB于G，连接AG  ∵OE⊥AC，BD⊥AC   ∴AC⊥平面BDE ∴AG⊥EB(三垂线定理)   ∴∠AGO是二面角A—EB—D的平面角 ∵OE＝PC＝a,OB＝a    ∴EB＝a.∴OG＝＝a  又AO＝a. ∴tan∠AGO＝＝∴∠AGO＝arctan. 评析  本题考查了面面垂直判定与性质，以及利用其性质求点到面距离，及二面角的求法，三垂线定理及逆定理的应用.

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