题目

如图，在平面直角坐标系中，四边形为矩形，，，为直线上一动点，将直线绕点逆时针方向旋转交直线于点；（1）当点在线段上运动（不与重合）时，求证：OA·BQ=AP·BP；（2）在（1）成立的条件下，设点的横坐标为，线段的长度为，求出关于的函数解析式，并判断是否存在最小值，若存在，请求出最小值；若不存在，请说明理由。（3）直线上是否存在点，使为等腰三角形，若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由。  答案：略解析:（1）证明：∵四边形OABC为矩形∴∠OAP=∠QBP=90°，∵∠OPQ=90°, ∴∠APO+∠BPQ=90=∠APO+∠AOP∴∠BPQ=∠AOP, ∴△AOP∽△BPQ∴∴OA·BQ=AP·BP   ----------------------3分(2)   由（1）知OA·BQ=AP·BP   ∴3×BQ=m(4-m)  ∴BQ=∴CQ=3-=即L=    (0＜m＜4)= ∴当m=2 时，   L（最小）=   -----------------6分(3)∵∠OPQ=90°,∴要使△POQ为等腰三角形，则PO=PQ . 当点P在线段AB上时，如图            AOP≌△BPQ  ∴PB=AO=3 ∴AP=4-3=1∴(1,3)当点P在线段AB的延长线上时，如图         此时△QBP≌△PAO  ∴PB=AO=3 ∴AP=4+3=7              ∴(7,3)                                       当点P在线段AB的反向延长线上时，如图     此时∵PB＞AB＞AO, ∴△PQB不可能与△OPA全等,即PQ不可能与PO相等,此时点P不存在.综上所述，知存在(1,3), (7,3).  ---------------9分 

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