题目

如图，PQ为圆O的直径，点B在线段PQ的延长线上，OQ=QB=1，动点A在圆O的上半圆运动（含P、Q两点），以线段AB为边向上作等边三角形ABC． （1）当线段AB所在的直线与圆O相切时，求△ABC的面积（图1）； （2）设∠AOB=α，当线段AB、与圆O只有一个公共点（即A点）时，求α的范围（图2，直接写出答案）； （3）当线段AB与圆O有两个公共点A、M时，如果AO⊥PM于点N，求CM的长度（图3）． 答案：解：（1）连接OA，过点B作BH⊥AC，垂足为H，如图1所示． ∵AB与⊙O相切于点A， ∴OA⊥AB． ∴∠OAB=90°． ∵OQ=QB=1， ∴OA=1． ∴AB= = =． ∵△ABC是等边三角形， ∴AC=AB=，∠CAB=60°． ∵sin∠HAB=， ∴HB=AB•sin∠HAB =× =． ∴S△ABC=AC•BH =×× =． ∴△ABC的面积为． （2）①当点A与点Q重合时， 线段AB与圆O只有一个公共点，此时α=0°； ②当线段A1B所在的直线与圆O相切时，如图2所示， 线段A1B与圆O只有一个公共点， 此时OA1⊥BA1，OA1=1，OB=2， ∴cos∠A1OB==． ∴∠A1OB=60°． ∴当线段AB与圆O只有一个公共点（即A点）时， α的范围为：0°≤α≤60°． （3）连接MQ，如图3所示． ∵PQ是⊙O的直径， ∴∠PMQ=90°． ∵OA⊥PM， ∴∠PDO=90°． ∴∠PDO=∠PMQ． ∴△PDO∽△PMQ． ∴== ∵PO=OQ=PQ． ∴PD=PM，OD=MQ． 同理：MQ=AO，BM=AB． ∵AO=1， ∴MQ=． ∴OD=． ∵∠PDO=90°，PO=1，OD=， ∴PD=． ∴PM=． ∴DM=． ∵∠ADM=90°，AD=A0﹣OD=， ∴AM= = =． ∵△ABC是等边三角形， ∴AC=AB=BC，∠CAB=60°． ∵BM=AB， ∴AM=BM． ∴CM⊥AB． ∵AM=， ∴BM=，AB=． ∴AC=． ∴CM= = =． ∴CM的长度为．

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