题目

【问题】如图①，在△ABC中，BE平分∠ABC，CE平分∠ACB，若∠A=80°，则∠BEC=__     __；若∠A=n°，则∠BEC=__      _． 【探究】 (1)如图②，在△ABC中，BD，BE三等分∠ABC，CD，CE三等分∠ACB．若∠A=n°，则∠BEC=____； (2)如图③，O是∠ABC与外角∠ACD的平分线BO和CO的交点，试分析∠BOC和∠A有怎样的关系？请说明理由； (3)如图④，O是外角∠DBC与外角∠BCE的平分线BO和CO的交点，则∠BOC与∠A有怎样的关系？(只写结论，不需证明) 答案：问题：130°，90°＋n°探究：（1）60°＋n°(2)∠BOC＝∠A． (3)∠BOC＝90°－∠A 【解析】试题分析：问题：利用三角形的内角和等于180°求出∠ABC+∠ACB，再利用角平分线的定义求出∠EBC+∠ECB，然后根据三角形的内角和等于180°列式计算即可得解；将∠A的度数换成n°，然后求解即可； 探究：（1）利用三角形的内角和等于180°求出∠ABC+∠ACB，再利用三等分角求出∠EBC+∠ECB，然后根据三角形的内角和等于180°列式计算即可得解； （2）根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和表示出∠ACD和∠OCD，再根据角平分线的定义可得∠ABC=2∠OBC，∠ACD=2∠OCD，然后整理即可得解； （3）根据平角的定义以及角平分线的定义表示出∠OBC和∠OCB，然后根据三角形的内角和定理列式表示出∠BOC，然后整理即可得解． 试题解析：【问题】解：∵∠A=80°， ∴∠ABC+∠ACB=180°-∠A=180°-80°=100°， ∵BE平分∠ABC，CE平分∠ACB， ∴∠EBC=∠ABC，∠ECB=∠ACB， ∴∠EBC+∠ECB=（∠ABC+∠ACB）=×100°=50°， ∴∠BEC=180°-（∠EBC+∠ECB）=180°-50°=130°； 由三角形的内角和定理得，∠ABC+∠ACB=180°-∠A=180°-n°， ∵BE平分∠ABC，CE平分∠ACB， ∴∠EBC=∠ABC，∠ECB=∠ACB， ∴∠EBC+∠ECB=（∠ABC+∠ACB）=×（180°-n°）=90°-n°， ∴∠BEC=180°-（∠EBC+∠ECB）=180°-（90°-n°）=90°+n°； 探究：解：（1）由三角形的内角和定理得，∠ABC+∠ACB=180°-∠A=180°-n°， ∵BD，BE三等分∠ABC，CD，CE三等分∠ACB， ∴∠EBC=∠ABC，∠ECB=∠ACB， ∴∠EBC+∠ECB=（∠ABC+∠ACB）=×（180°-n°）=120°-n°， ∴∠BEC=180°-（∠EBC+∠ECB）=180°-（120°-n°）=60°+n°； （3）∵O是外角∠DBC与外角∠BCE的平分线BO和CO的交点， ∴∠OBC=（180°-∠ABC）=90°-∠ABC，∠OCB=（180°-∠ACB）=90°-∠ACB， 在△OBC中，∠BOC=180°-∠OBC-∠OCB=180°-（90°-∠ABC）-（90°-∠ACB）=（∠ABC+∠ACB）， 由三角形的内角和定理得，∠ABC+∠ACB=180°-∠A， ∴∠BOC=（180°-∠A）=90°-∠A．

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