题目

如图1-1-5，已知A、B、C是直线m上的三点，且|AB|=|BC|=6，⊙O′切直线m于点A，又过B、C作⊙O′异于m的两切线，切点分别为D、E，设两切线交于点P.图1-1-5（1）求点P的轨迹方程;（2）经过点C的直线l与点P的轨迹交于M、N两点，且点C分所成比等于2∶3，求直线l的方程. 答案：思路分析：先根据圆切线的定义,可得到点P的轨迹是椭圆,然后建立适当的坐标系求出点P的轨迹方程；根据定比分点坐标公式,找出相关点的坐标,列出方程组求点M、N的坐标,从而求出直线方程.解：（1）∵|PE|=|PD|,|BD|=|BA|,|CE|=|CA|,∴|PB|+|PC|=|PD|+|DB|+|CE|-|PE|=|BD|+|CE|=|AB|+|CA|=18＞6=|BC|.∴P点轨迹是以B、C为焦点,长轴长等于18的椭圆.以B、C两点所在直线为x轴,线段BC的垂直平分线为y轴建立直角坐标系,则可设椭圆的方程是=1(a＞b＞0).∵a=9,c=3,∴b2=72.∴P点的轨迹方程是=1(y≠0).（2）设M(x1,y1)、N(x2,y2),∵C(3,0)分MN所成的比为,∴∴=1.∴①又=1,②由①②消去y2,得=1.解得x2=-3,y2=±8,即N(-3,±8).∴由C、N可得直线的方程是4x+3y-12=0或4x-3y-12=0.

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