题目

如图，AD是△ABC的中线，AE∥BC，BE交AD于点F，且AF=DF． （1）求证：四边形ADCE是平行四边形； （2）当AB、AC之间满足　　　　　　时，四边形ADCE是矩形； （3）当AB、AC之间满足　　　　　　时，四边形ADCE是正方形． 　 答案：【考点】正方形的判定；平行四边形的判定；矩形的判定． 【分析】（1）首先证明△AFE≌△DFB可得AE=BD，进而可证明AE=CD，再由AE∥BC可利用一组对边平行且相等的四边形是平行四边形可得四边形ADCE是平行四边形； （2）当AB=AC时，根据等腰三角形三线合一可得AD⊥BC，再根据有一个角是直角的平行四边形是矩形可得结论； （3）当AB=AC，AB⊥AC时，△ABC是等腰直角三角形，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得AD=CD，根据等腰三角形的性质可得AD⊥BC，从而可得证明四边形ADCE是正方形． 【解答】（1）证明：∵AD是△ABC的中线， ∴BD=CD， ∵AE∥BC， ∴∠AEF=∠DBF， 在△AFE和△DFB中， ， ∴△AFE≌△DFB（AAS）， ∴AE=BD， ∴AE=CD， ∵AE∥BC， ∴四边形ADCE是平行四边形；   （2）当AB=AC时，四边形ADCE是矩形； ∵AB=AC，AD是△ABC的中线， ∴AD⊥BC， ∴∠ADC=90°， ∵四边形ADCE是平行四边形， ∴四边形ADCE是矩形， 故答案为：AB=AC；   （3）当AB⊥AC，AB=AC时，四边形ADCE是正方形， ∵AB⊥AC，AB=AC， ∴△ABC是等腰直角三角形， ∵AD是△ABC的中线， ∴AD=CD，AD⊥BC， 又∵四边形ADCE是平行四边形， ∴四边形ADCE是正方形， 故答案为：AB⊥AC，AB=AC． 【点评】此题主要考查了矩形、正方形、平行四边形的判定，关键是掌握一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，有一个角是直角的平行四边形是矩形，邻边相等的矩形是正方形．

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