题目

我们给出如下定义：对函数，若存在常数（），对任意的，存在唯一的，使得，则称函数为“和谐函数”，称常数为函数的 “和谐数”. （Ⅰ）判断函数是否为“和谐函数”？答：       . 是（填“是”或“否”）如果是，写出它的一个“和谐数”：           . （Ⅱ）请先学习下面的证明方法： 证明：函数，为“和谐函数”，是其“和谐数”； 证明过程如下：对任意，令，即， 得.∵  ，∴. 即对任意，存在唯一的，使得 . ∴为“和谐函数”，其“和谐数”为. 参照上述证明过程证明：函数为“和谐函数”，是其“和谐数”； [证明]： （III）判断函数是否为和谐函数，并作出证明. 答案：解： (1)是，C=2 （2）对任意，令，即，得， .∵  ，∴  ，. 即对任意，存在唯一的，使得 . ∴ 为“和谐函数”，是其“和谐数”. （3）对任意的常数， ⅰ)若，则对于，显然不存在，使得成立， 所以不是函数的和谐数；- ⅱ) 若，则对于，由得，， 即不存在，使成立. 所以也不是函数的和谐数.   综上所述，函数不是“和谐函数”. {或者借助唯一来否定也可，按步骤酌情给分。}

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