题目

已知函数. （1）求函数的单调区间和最小值； （2）若函数在上的最小值为，求的值； （3）若,且对任意恒成立，求的最大值. 答案：    解：（1）的单调增区间为，单调减区间为， （2），， Ⅰ．当时，，在上单调递增，，所以，舍去. Ⅱ．当时，在上单调递减，在上单调递增， ①若，在上单调递增，，所以，舍去， ②若，在上单调递减，在上单调递增，所以，解得. ③若，在上单调递减，，所以，舍去， 综上所述，. （3）法一：由题意得：对任意恒成立，即对任意恒成立. 令，则，令，则， 所以函数在上单调递增， 因为方程在上存在唯一的实根，且，当时，，即， 当时，，即. 所以函数在上递减，在上单调递增. 所以 所以，又因为，故整数的最大值为3. 法二：直接构造函数       令        ① 当时，在上恒成立，在上恒成立，       ；    ② 当时，令      当变化时，、变化情况如下表： x - 0 + 减函数 极小值 增函数             即 即       同法一    的最大值是3

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