题目

如图一，在△ABC中，分别以AB，AC为直径在△ABC外作半圆和半圆，其中和分别为两个半圆的圆心. F是边BC的中点，点D和点E分别为两个半圆圆弧的中点. 【小题1】连结，证明：；【小题2】如图二，过点A分别作半圆和半圆的切线，交BD的延长线和CE的延长线于点P和点Q，连结PQ，若∠ACB=90°,DB=5，CE=3，求线段PQ的长;【小题3】如图三，过点A作半圆的切线，交CE的延长线于点Q，过点Q作直线FA的垂线，交BD的延长线于点P，连结PA. 证明：PA是半圆的切线. 答案：【小题1】∴∠DF=∠FE.∴.【小题2】解：如图二，延长CA至G，使AG=AQ,连接BG、AE.∵点E是半圆圆弧的中点，∴AE=CE=3∵AC为直径∴∠AEC=90°，∴∠ACE=∠EAC =45°，AC==，∵AQ是半圆的切线，∴CA⊥AQ，∴∠CAQ=90°，【小题3】（3） 证法一：如图三，设直线FA与PQ的垂足为M，过C作CS⊥MF于S，过B作BR⊥MF于R，连接DR、AD、DM.  ∵F是BC边的中点，∴.∴BR=CS，由（2）已证∠CAQ=90°, AC=AQ,∴∠2+∠3=90°∵FM⊥PQ, ∴∠2+∠1=90°，∴∠1=∠3,同理：∠2=∠4,∴，∴AM=CS，∴AM=BR，同（2）可证AD=BD，∠ADB=∠ADP=90°,∴∠ADB=∠ARB="90°," ∠ADP=∠AMP=90°∴A、D、B、R四点在以AB为直径的圆上，A、D、P、M四点在以AP为直径的圆上，且∠DBR+∠DAR=180°,∴∠5="∠8," ∠6=∠7,∵∠DAM+∠DAR=180°,∴∠DBR=∠DAM∴，∴∠5=∠9,∴∠RDM=90°，∴∠5+∠7=90°，∴∠6+∠8=90°，∴∠PAB=90°，∴PA⊥AB,又AB是半圆直径，即 .∵ ,∴ 过点Q有两条不同的直线和同时与AF垂直.这与在平面内过一点有且仅有一条直线与已知直线垂直相矛盾,因此假设错误.所以PA是是半圆的切线.解析:p;【解析】略

查看本题答案和解析