题目

如图，F是中心在原点、焦点在x轴上的椭圆C的右焦点，\直线l：x=4是椭圆C的右准线，F到直线l的距离等于3． （1）求椭圆C的方程； （2）点P是椭圆C上动点，PM⊥l，垂足为M．是否存在点P，使得△FPM为等腰三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由． 答案：考点： 椭圆的标准方程；直线与圆锥曲线的综合问题． 专题： 计算题． 分析： （1）设椭圆C的方程为+=1（a＞b＞0），由已知，得出a，b的方程，解得a，b．最后写出椭圆C的方程即可； （2）由=e=，得PF=PM．∴PF≠PM．下面分类讨论：①若PF=FM，②若FM=PM，结合已知条件求得第②情形存在点P（，±），使得△PFM为等腰三角形． 解答： 解：（1）设椭圆C的方程为+=1（a＞b＞0）， 由已知，得∴∴b=． 所以椭圆C的方程为+=1． （2）由=e=，得PF=PM．∴PF≠PM． ①若PF=FM，则PF+FM=PM，与“三角形两边之和大于第三边”矛盾，∴PF不可能与PM相等． ②若FM=PM，设P（x，y）（x≠±2），则M（4，y）． ∴=4﹣x，∴9+y2=16﹣8x+x2，又由+=1，得y2=3﹣x2． ∴9+3﹣x2=16﹣8x+x2，∴x2﹣8x+4=0．∴7x2﹣32x+16=0． ∴x=或x=4．∵x∈（﹣2，2），∴x=．∴P（，±）． 综上，存在点P（，±），使得△PFM为等腰三角形． 点评： 本题考查椭圆的性质和应用，解题的关键是要认真审题，仔细解答，注意合理地选用反证法的思想方法证题．

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