题目

如图1-3-15，已知△ABC中，AB=AC，AD是BC边上的中线，CF∥BA，BF交AD于P点，交AC于E点.求证:BP2=PE·PF.图1-3-15 答案：思路分析:因为BP、PE、PF三条线段共线，找不到两个三角形，所以必须考虑等线段代换等其他方法，因为AB=AC，D是BC的中点，由等腰三角形的性质知AD是BC的垂直平分线，如果我们连结PC，由线段垂直平分线的性质知PB=PC，只需证明△PEC∽△PCF，问题就能解决了.证明：连结PC，在△ABC中，∵AB=AC，D为BC的中点，∴AD垂直平分BC.∴PB=PC.∴∠1=∠2.∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB.∴∠ABC-∠1=∠ACB-∠2.∴∠3=∠4.∵CF∥AB，∴∠3=∠F.∴∠4=∠F.又∵∠EPC=∠CPF，∴△PCE∽△PFC.∴.∴PC2=PE·PF.∵PC=PB，∴PB2=PE·PF.（等线段代换）.

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