题目

（本题满分18分）第一题满分4分，第二题满分6分，第三题满分8分． 已知椭圆的长轴长是焦距的两倍，其左、右焦点依次为、，抛物线的准线与轴交于，椭圆与抛物线的一个交点为. （1）当时，求椭圆的方程； （2）在（1）的条件下，直线过焦点，与抛物线交于两点，若弦长等于的周长，求直线的方程； （3）是否存在实数，使得的边长为连续的自然数. 答案：解：（1）设椭圆的实半轴长为a,短半轴长为b，半焦距为c, 当=1时，由题意得，a=2c=2,,  所以椭圆的方程为.（4分） （2）依题意知直线的斜率存在，设，由得，，由直线与抛物线有两个交点，可知.设，由韦达定理得，则（6分）又的周长为，所以，          （8分） 解得，从而可得直线的方程为        （10分） （3）假设存在满足条件的实数， 由题意得，所以椭圆的方程为 联立解得即。 所以，，， 即的边长分别为、、，显然， 所以，故当时，使得的边长为连续的自然数.  （18分）

查看本题答案和解析