题目

如图，已知AB是⊙O的直径，BC是⊙O的弦，弦ED⊥AB于点F，交BC于点G，过点C的直线与ED的延长线交于点P，PC=PG． （1）求证：PC是⊙O的切线； （2）当点C在劣弧AD上运动时，其他条件不变，若BG2=BF•BO．求证：点G是BC的中点； （3）在满足（2）的条件下，AB=10，ED=4，求BG的长． 答案：（1）证明：连OC，如图， ∵ED⊥AB， ∴∠FBG+∠FGB=90°， 又∵PC=PG， ∴∠1=∠2， 而∠2=∠FGB，∠4=∠FBG， ∴∠1+∠4=90°，即OC⊥PC， ∴PC是⊙O的切线； （2）证明：连OG，如图， ∵BG2=BF•BO，即BG：BO=BF：BG， 而∠FBG=∠GBO， ∴△BGO∽△BFG， ∴∠OGB=∠BFG=90°， 即OG⊥BG， ∴BG=CG，即点G是BC的中点； （3）解：连OE，如图， ∵ED⊥AB， ∴FE=FD， 而AB=10，ED=4， ∴EF=2，OE=5， 在Rt△OEF中，OF===1， ∴BF=5﹣1=4， ∵BG2=BF•BO， ∴BG2=BF•BO=4×5， ∴BG=2．

查看本题答案和解析