题目

(18)如图,在棱长为1的正方体ABCD—A1B1C1D1中,点E是棱BC的中点,点F是棱CD上的动点.  (Ⅰ)试确定点F的位置,使得D1E⊥平面AB1F;(Ⅱ)当D1E⊥平面AB1F时,求二面角C1—EF—A的大小(结果用反三角函数值表示). 答案：(18)本小题主要考查线面关系和正方体等基础知识,考查空间想象能力和推理运算能力. 解法一：(Ⅰ)连结A1B,则A1B是D1E在面ABB1A1内的射影.∵AB1⊥A1B，∴D1E⊥AB1于是D1E⊥平面AB1FD1E⊥AF.连结DE,则DE是D1E在底面ABCD内的射影.∴D1E⊥AFDE⊥AF.∵ABCD是正方形,E是BC的中点,∴当且仅当F是CD的中点时,DE⊥AF,即当点F是CD的中点时,D1E⊥平面AB1F.                   (Ⅱ)当D1E⊥平面AB1F时,由(Ⅰ)知点F是CD的中点.又已知点E是BC的中点,连结EF,则EF∥BD连结AC,设AC与EF交于点H,则CH⊥EF.连结C1H,则CH是C1H在底面ABCD内的射影. ∴C1H⊥EF,即∠C1HC是二面角C1—EF—C的平面角.在Rt△C1CH中,∵C1C=1,CH=AC=,∴∠C1HC=arctan2,从而∠AHC1=π－arctan2.故二面角C1—EF—A的大小为π－arctan2.解法二:以A为坐标原点,建立如图所示的空间直角坐标系.(Ⅰ)设DF=x,则A(0,0,0),B(1,0,0),D(0,1,0),A1(0,0,1),B1(1,0,1),D1(0,1,1),E(1,,0),F(x,1,0).∴=(1,－,－1),=(1,0,1),=(x,1,0).∴·=1－1=0,即⊥.于是D1E⊥平面AB1FD1E⊥AF·=0x－=0.即x=.故当点F是CD的中点时,D1E⊥平面AB1F.(Ⅱ)当D1E⊥平面AB1F时,F是CD的中点.又E是BC的中点,连结EF,则EF∥BD连结AC,设AC与EF交于点H,则AH⊥EF.连结C1H,则CH是C1H在底面ABCD内的射影.∴C1H⊥EF,即∠AHC是二面角C1—EF—A的平面角.∵C1(1,1,1),H(,,0),∴=(,,1),=(－,－,0).∴cosAHC1=,即∠AHC1=arccos(－)=π－arccos故二面角C1—EF—A的大小为π－arccos.

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