题目

  O   Q   M   N   P   操作：如图①，点O为线段MN的中点，直线PQ与MN相交于点O，请利用图①画出一对以点O为对称中心的全等三角形。                                                 图① 根据上述操作得到的经验完成下列探究活动： 探究一：如图②，在四边形ABCD中，AB∥DC，E为BC边的中点，∠BAE＝∠EAF，AF与DC的延长线相交于点F. 试探究线段AB与AF、CF之间的等量关系，并证明你的结论； 探究二：如图③，DE、BC相交于点E，BA交DE于点A，且BE：EC＝1：2， ∠BAE＝∠EDF，CF∥AB。若AB＝5，CF＝1，求DF的长度。 答案：（1）画图                                          （2）结论：AB=AF+CF .    证明：分别延长AE、DF交于点M， ∵E为BC的中点， ∴BE=CE . ∵AB∥CD， ∴∠BAE=∠M . 在△ABE与△MCE中， ∠BAE=∠M ∠AEB=∠MEC BE=CE， ∴△ABE≌△MCE . ∴AB=MC . 又∵∠BAE=∠EAF， ∴∠M=∠EAF . ∴MF=AF . 又∵MC=MF+CF， ∴AB=AF+CF .     （3）分别延长DE、CF交于点G ∵AB∥CF， ∴∠B=∠C，∠BAE=∠G . ∴△ABE∽△GCE . ∴ . 又∵， ∴. ∵AB=5， ∴GC=10 . ∵FC=1， ∴GF=9 . ∵AB∥CF， ∴∠BAE=∠G . 又∵∠BAE=∠EDF， ∴∠G=∠EDF . ∴GF=DF . ∴DF=9 .                           

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