题目

设椭圆C： +=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，上顶点为A，过点A与AF2垂直的直线交z轴负半轴于点Q，且+=，过A，Q，F2三点的圆的半径为2．过定点M（0，2）的直线l与椭圆C交于G，H两点（点G在点M，H之间）． （I）求椭圆C的方程； （Ⅱ）设直线l的斜率k＞0，在x轴上是否存在点P（m，0），使得以PG，PH为邻边的平行四边形是菱形．如果存在，求出m的取值范围，如果不存在，请说明理由． 答案：【考点】KH：直线与圆锥曲线的综合问题；K3：椭圆的标准方程． 【分析】（I）因为，知a，c的一个方程，再利用△AQF的外接圆与直线l相切得出另一个方程，解这两个方程组成的方程组即可求得所求椭圆方程； （II）设l的方程代入椭圆的方程，消去y得到关于x的一元二次方程，再结合根与系数的关系利用向量的坐标表示，利用基本不等式，即可求得m的取值范围． 【解答】解：（I）因为，所以F1为F2Q中点． 设Q的坐标为（﹣3c，0）， 因为AQ⊥AF2，所以b2=3c×c=3c2，a2=4c×c=4c2， 且过A，Q，F2三点的圆的圆心为F1（﹣c，0），半径为2c 因为该圆与直线l相切，所以，解得c=1， 所以a=2，b=，所以所求椭圆方程为； （Ⅱ）设l的方程为y=kx+2（k＞0），与椭圆方程联立，消去y可得（3+4k2）x2+16kx+4=0． 设G（x1，y1），H（x2，y2），则x1+x2=﹣ ∴=（x1﹣m，y1）+（x2﹣m，y2）=（x1+x2﹣2m，y1+y2）． =（x1+x2﹣2m，k（x1+x2）+4） 又=（x2﹣x1，y2﹣y1）=（x2﹣x1，k（x2﹣x1））． 由于菱形对角线互相垂直，则（）•=0， 所以（x2﹣x1）[（x1+x2）﹣2m]+k（x2﹣x1）[k（x1+x2）+4]=0． 故（x2﹣x1）[（x1+x2）﹣2m+k2（x1+x2）+4k]=0． 因为k＞0，所以x2﹣x1≠0． 所以（x1+x2）﹣2m+k2（x1+x2）+4k=0，即（1+k2）（x1+x2）+4k﹣2m=0． 所以（1+k2）（﹣）+4k﹣2m=0． 解得m=﹣，即 因为k＞，可以使，所以 故存在满足题意的点P且m的取值范围是[）． 【点评】本题考查椭圆的标准方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理的运用，考查基本不等式的运用，解题时应充分挖掘题目的隐含条件，寻找量与量间的关系灵活转化，属于中档题．

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