题目

已知函数f（x）=ex﹣ax﹣1（e为自然对数的底数），a＞0． （1）若a=1，求函数f（x）在x=0处的切线方程； （2）若f（x）≥0对任意x∈R恒成立，求实数a的取值集合． 答案：【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究曲线上某点切线方程． 【专题】导数的综合应用． 【分析】（1）求函数的导数，利用导数的几何意义即可求函数f（x）在x=0处的切线方程； （2）根据不等式恒成立转化为求函数f（x）的最小值，求函数的导数，利用导数进行求解即可． 【解答】解：（1）若a=1，则f（x）=ex﹣ax﹣1，有f（0）=0， f′（x）=ex﹣1， 所以斜率为f′（0）=0，所以切线为y=0． （2）求导：f′（x）=ex﹣a， 令f′（x）＞0，解得x＞lna， 所以函数在（lna，+∞）递增，（﹣∞，lna）递减， 所以在x=lna，取得最小值． 故f（x）≥0恒成立，等价于f（x）min≥0， 即f（lna）=a﹣alna﹣1≥0成立． 令h（a）=a﹣alna﹣1， h′（a）=﹣lna， 所以知h（a）在（0，1）递增，（1，+∞）递减． 有h（a）max=h（1）=0， 所以当0＜a＜1或a＞1时，h（a）＜0， 所以a=1时，f（x）≥0对任意x∈R恒成立． 所以实数a的取值集合为{1}． 【点评】本题主要考查导数的综合应用，以及函数切线的求解，利用导数的几何意义，求函数的导数是解决本题的关键． 　

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