题目

已知数列{an}为等比数列，其前n项和为Sn，已知a1＋a4＝－，且对于任意的n∈N＋有Sn，Sn＋2，Sn＋1成等差数列． (1)求数列{an}的通项公式； (2)已知bn＝n(n∈N＋)，记Tn＝，若(n－1)2≤m(Tn－n－1)对于n≥2恒成立，求实数m的范围． 答案：解析：(1)设等比数列{an}的公比为q， ∵ S1，S3，S2成等差数列， ∴ 2S3＝S1＋S2， ∴ 2a1(1＋q＋q2)＝a1(2＋q)，得q＝－， 又a1＋a4＝a1(1＋q3)＝－， ∴ a1＝－，∴ an＝a1qn－1＝ (2)∵ bn＝n，an＝ ∴＝n·2n， ∴ Tn＝1·2＋2·22＋3·23＋…＋n·2n，① 2Tn＝1·22＋2·23＋3·24＋…＋(n－1)·2n＋n·2n＋1，② 由①－②，得－Tn＝2＋22＋23＋…＋2n－n·2n＋1， ∴ Tn＝－＝(n－1)·2n＋1＋2. 若(n－1)2≤m(Tn－n－1)对于n≥2恒成立， 则(n－1)2≤m[(n－1)·2n＋1＋2－n－1]， (n－1)2≤m(n－1)·(2n＋1－1)， ∴ m≥， 令f(n)＝，f(n＋1)－f(n)＝＜0，∴ f(n)为减函数， ∴ f(n)≤f(2)＝. ∴ m≥.即m的取值范围是.

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