题目

已知：关于 x 的方程 x 2 － 4mx＋4m 2 － 1＝0. (1) 不解方程，判断方程的根的情况； (2) 若 △ ABC 为等腰三角形， BC＝5 ，另外两条边是方程的根，求此三角形的周长． 2 答案： (1) 有两个不相等的实数根 （ 2） 周长为 13 或 17 【分析】 （ 1 ）根据方程的系数结合根的判别式 ， 可得出 △ =4 ＞ 0， 由此可得出 ： 无论 m 为何值 ， 该方程总有两个不相等的实数根 ； （ 2 ）根据等腰三角形的性质及 △＞ 0， 可得出 5 是方程 x 2 ﹣ 4mx + 4m 2 ﹣ 1=0 的根 ， 将 x=5 代入原方程可求出 m 值 ， 通过解方程可得出方程的解 ， 在利用三角形的周长公式即可求出结论． 【详解】 （ 1） ∵△ =（﹣4m） 2 ﹣ 4（4m 2 ﹣ 1）=4 ＞ 0， ∴无论 m 为何值 ， 该方程总有两个不相等的实数根． （ 2） ∵△＞ 0， △ ABC 为等腰三角形 ， 另外两条边是方程的根 ， ∴ 5 是方程 x 2 ﹣ 4mx + 4m 2 ﹣ 1=0 的根． 将 x=5 代入原方程 ， 得 ： 25﹣20m + 4m 2 ﹣ 1=0， 解得 ： m 1 =2，m 2 =3． 当 m=2 时 ， 原方程为 x 2 ﹣ 8x + 15=0， 解得 ： x 1 =3，x 2 =5． ∵ 3、5、5 能够组成三角形 ， ∴该三角形的周长为 3 + 5 + 5=13； 当 m=3 时 ， 原方程为 x 2 ﹣ 12x + 35=0， 解得 ： x 1 =5，x 2 =7． ∵ 5、5、7 能够组成三角形 ， ∴该三角形的周长为 5 + 5 + 7=17． 综上所述 ： 此三角形的周长为 13 或 17． 【点睛】 本题考查了根的判别式、等腰三角形的性质、三角形的三边关系以及解一元二次方程 ， 解题的关键是 ：（ 1 ）牢记 “ 当 △＞ 0 时 ， 方程有两个不相等的实数根 ”；（2 ）代入 x=5 求出 m 值．

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