题目

如图，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E、P分别BC、A1D1的中点，M、N分别是AE、CD1的中点，AD=AA1=1，AB=2． （1）求证：MN∥面ADD1A1； （2）求MN与平面ABCD所成角的正切值； （3）求三棱锥P﹣DEN的体积． 答案：考点： 直线与平面所成的角；棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面平行的判定． 专题： 空间位置关系与距离． 分析： （1）利用三角形中位线的性质，证明线面平行，从而可得面面平行，即可证明MN∥面ADD1A1； （2）确定MN与平面ABCD所成角，再利用三角函数，即可求得角的正切值； （3）利用转换底面方法，即可求三棱锥P﹣DEN的体积． 解答： （1）证明：取CD的中点K，连结MK、NK ∵M、N、K分别为AK、CD1、CD的中点 ∴MK∥AD，NK∥DD1 ∴MK∥面ADD1A1，NK∥面ADD1A1 ∴面MNK∥面ADD1A1∴MN∥面ADD1A1…（4分） （2）解：由（1）知∠NMK是直线MN与平面ABCD所成的角…（5分） ∵， ∴…（8分） （3） 作DQ⊥CD1交CD1于Q，由A1D1⊥面CDD1C1得，A1C1⊥DQ ∴DQ⊥面BCD1A1 ∴在Rt△CDD1中， ∴…（14分） 点评： 本题考查线面平行的判定与性质，考查面面平行，考查线面角，考查三棱锥体积的计算，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．

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