题目

(本小题满分14分) 已知函数f(x)=(1+x)2-aln(1+x)2在(-2,-1)上是增函数，在（-∞，-2）上为减函数. （1）求f(x)的表达式； （2）若当x∈时，不等式f(x)＜m恒成立，求实数m的值； （3）是否存在实数b使得关于x的方程f(x)=x2+x+b在区间［0，2］上恰好有两个相异的实根，若存在，求实数b的取值范围. 答案：解  （1） ∵f′(x)= =, …………………………………………………………2分 依题意f(x)在(-2,-1)上是增函数，在（-∞,-2)上为减函数.∴x=-2时，f（x）有极小值，∴f′（-2）=0. 代入方程解得a=1, 故f(x)=(1+x)2-ln(1+x)2. ……………………………………………………4分 (2)由于f′(x)= , 令f′(x)=0,得x1=0,x2=-2. …………………………………………………5分 （由于x∈，故x2=-2舍去）， 易证函数在上单调递减， 在［0，e-1］上单调递增， 且f()=+2,f(e-1)=e2-2＞+2, ………………………………………7分 故当x∈时，f(x)max=e2-2, 因此若使原不等式恒成立只需m＞e2-2即可. ………………………………9分 （3）若存在实数b使得条件成立， 方程f(x)=x2+x+b 即为x-b+1-ln(1+x)2=0, 令g(x)=x-b+1-ln(1+x)2, 则g′(x)= , ………………………………………………10分 令g′(x)＞0,得x＜-1或x＞1, 令g′(x)＜0,得-1＜x＜1,  …………………………………………………11分 故g(x)在［0，1］上单调递减，在［1，2］上单调递增，要使方程f(x)=x2+x+b在区间［0，2］上恰好有两个相异的实根，只需g(x)=0在区间［0，1］和［1，2］上各有一个实根，于是有2-2ln2＜b≤3-2ln3,  故存在这样的实数b,当2-2ln2＜b≤3-2ln3时满足条件. …………………14分

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