题目

如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，∠ABC＝90°，AB=1,BC=,AA2=2;点D在棱BB1上，BD＝BB1；B1E⊥A1D，垂足为E，求： （Ⅰ）异面直线A1D与B1C1的距离； （Ⅱ）四棱锥C-ABDE的体积。 答案： 解法一：（Ⅰ）由直三棱柱的定义知B1C1⊥B1D，又因为∠ABC＝90°，因此B1C1⊥A1B1，从而B1C1⊥平面A1B1D，得B1C1⊥B1E。又B1E⊥A1D， 故B1E是异面直线B1C1与A1D的公垂线 由知 在Rt△A1B1D中，A2D＝ 又因 故B1E= （Ⅱ）由（Ⅰ）知B1C1⊥平面A1B1D，又BC∥B1C1，故BC⊥平面ABDE，即BC为四棱锥C-ABDE的高。从而所求四棱锥的体积V为 V＝VC-ABDE＝ 其中S为四边形ABDE的面积。如图1，过E作EF⊥BD，垂足为F。 图1 在Rt△B1ED中，ED= 又因S△B1ED= 故EF= 因△A1AE的边A1A上的高故 S△A1AE＝ 又因为S△A1BD＝从而 S＝S△A1AE-S△A1AE-S△A1B1D＝2- 所以 解法二：（Ⅱ）如图2，以B点为坐标原点O建立空间直角坐标系O-xyz，则 图2 A(0,1,0),A1(0,1,2),B(0,0,0). B1(0,0,2),C1(,0,2),D(0,0, ) 因此 设E（，y0，z0），则， 因此 又由题设B1E⊥A1D，故B1E是异面直线B1C1与A1D的公垂线。 下面求点E的坐标。 因B1E⊥A1D，即 又 联立（1）、（2）,解得,,即，。 所以. （Ⅱ）由BC⊥AB，BC⊥DB，故BC⊥面ABDE.即BC为四棱锥C-ABDE的高. 下面求四边形ABDE的面积。 因为SABCD＝SABE+ SADE， 而SABE＝ SBDE＝ 故SABCD＝ 所以

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