题目

在△ABC中,已知B(－2,0)、C(2,0),AD⊥BC于点D,△ABC的垂心为H,且=. (1)求点H(x,y)的轨迹G的方程； (2)已知P(－1,0)、Q(1,0),M是曲线G上的一点,那么,,能成等差数列吗?若能,求出M点的坐标；若不能,请说明理由. 答案：(1) G的方程为+=1(y≠0).(2)见解析 解析:(1)∵H点坐标为(x,y),则D点坐标为(x,0), 由定比分点坐标公式可知,A点的坐标为(x,y). ∴=(x+2,y),=(x－2,y). 由BH⊥CA知x2－4+y2=0,即+ =1, ∴G的方程为+=1(y≠0). (2)解法一:显然P、Q恰好为G的两个焦点, ∴||+||=4,||=2. 若,,成等差数列,则+==1. ∴||·||=| |+||=4. 由可得||=||=2, ∴M点为+=1的短轴端点. ∴当M点的坐标为(0, )或(0,－)时,,,成等差数列. 解法二:设M点的坐标为(x,y), 显然P、Q恰好为+ =1的两个焦点, ∴||+||=4,| |=2. ∵,,成等差数列, ∴+==1. 由椭圆第二定义可得||=a+ex,||=a－ex, ∴+=1.解得x=0. ∴M点的坐标为(0, )或(0,－). ∴当M点的坐标为(0, )或(0,－)时,,,成等差数列.

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