题目

(1)求证:4×6n+5n+1-9能被20整除;(2)已知2n+2·3n+5n-a能被25整除,求a的最小正数值.   答案：(1)证明:4×6n-9=4(5+1)n-9=4(5n+·5n-1+…+·5+1)-9 =4(5n+·5n-1+…+·5)-5=5［4(5n-1++…+)-1］是5的倍数,因此4×6n+5n+1-9是5的倍数.又∵5n+1-9=(4+1)n+1-9=4n+1+·4n+·4n-1+…+·4+1-9=4·(4n+·4n-1+…+-2)是4的倍数,因此4×6n+5n+1-9是4的倍数.∴4×6n+5n+1-9既是4的倍数,又是5的倍数.由于4与5互质,∴4×6n+5n+1-9能被20整除.(2)解:n≥2时,4×6n+5n-a=4(5+1)n+5n-a=4(5n+C1n·5n-1+…+·5+1)+5n-a=4×52(5n-2+·5n-3+…+)+20n+4+5n-a=25×4(5n-2+·5n-3+…+)+25n+4-a能被25整除时a=4为最小正数.当n=1时,原式=24+5-a能被25整除时a的最小正数是4.

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