题目

已知：函数y=ax2+x+1的图象与x轴只有一个公共点． （1）求这个函数关系式； （2）如图所示，设二次函数y=ax2+x+1图象的顶点为B，与y轴的交点为A，P为图象上的一点，若以线段PB为直径的圆与直线AB相切于点B，求P点的坐标； （3）在(2)中，若圆与x轴另一交点关于直线PB的对称点为M，试探索点M是否在抛物线y=ax2+x+1上，若在抛物线上，求出M点的坐标；若不在，请说明理由．     答案：解：（1）当a = 0时，y = x+1，图象与x轴只有一个公共点 当a≠0时，△=1- 4a=0，a = ，此时，图象与x轴只有一个公共点． ∴函数的解析式为：y=x+1 或`y=x2+x+1    （2）设P为二次函数图象上的一点，过点P作PC⊥x 轴于点C． ∵是二次函数，由（1）知该函数关系式为： y=x2+x+1，则顶点为B（-2，0），图象与y轴的交点 坐标为A（0，1）………（4分） ∵以PB为直径的圆与直线AB相切于点B  ∴PB⊥AB  则∠PBC=∠BAO   ∴Rt△PCB∽Rt△BOA   ∴，故PC=2BC， 设P点的坐标为(x，y)，∵∠ABO是锐角，∠PBA是直角，∴∠PBO是钝角，∴x<-2 ∴BC=-2-x，PC=-4-2x，即y=-4-2x， P点的坐标为(x，-4-2x) ∵点P在二次函数y=x2+x+1的图象上，∴-4-2x=x2+x+1… 解之得：x1=-2，x2=-10 ∵x<-2 ∴x=-10，∴P点的坐标为：(-10，16)… （3）点M不在抛物线上 由（2）知：C为圆与x 轴的另一交点，连接CM，CM与直线PB的交点为Q，过点M作x轴的垂线，垂足为D，取CD的中点E，连接QE，则CM⊥PB，且CQ=MQ ∴QE∥MD，QE=MD，QE⊥CE ∵CM⊥PB，QE⊥CE  PC⊥x 轴 ∴∠QCE=∠EQB=∠CPB ∴tan∠QCE= tan∠EQB= tan∠CPB = CE=2QE=2×2BE=4BE，又CB=8，故BE=，QE= ∴Q点的坐标为(-，) 可求得M点的坐标为(，)… ∵=≠ ∴C点关于直线PB的对称点M不在抛物线上 (其它解法，仿此得分)

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