题目

已知函数，a∈R． （1）求函数f（x）的单调区间； （2）若函数f（x）有两个零点x1，x2，（x1＜x2），求证：1＜x1＜a＜x2＜a2． 答案：【考点】利用导数研究函数的单调性；根的存在性及根的个数判断． 【专题】计算题． 【分析】（1）先求导数fˊ（x）然后在函数的定义域内解不等式fˊ（x）＞0和fˊ（x）＜0，fˊ（x）＞0的区间为单调增区间，fˊ（x）＜0的区间为单调减区间． （2）由（1）知，当a≤0时，函数f（x）单调递增，函数至多只有一个零点，不合题意；则必有a＞0，此时函数f（x）的单调递减区间为（0，a）；单调递增区间为（a，+∞），进一步得出x1∈（1，a）和x2∈（a，a2），从而得出答案． 【解答】解：（1）由题意，函数的定义域为（0，+∞）， 当a≤0时，，， 函数f（x）的单调递增区间为（0，+∞），…3分 当a＞0时，，…5分 若x≥a，，此时函数f（x）单调递增， 若x＜a，，此时函数f（x）单调递减， 综上，当a≤0时，函数f（x）的单调递增区间为（0，+∞）； 当a＞0时，函数f（x）的单调递减区间为（0，a）；单调递增区间为（a，+∞）． …7分 （2）由（1）知，当a≤0时，函数f（x）单调递增， 此时函数至多只有一个零点，不合题意；                      …8分 则必有a＞0，此时函数f（x）的单调递减区间为（0，a）；单调递增区间为（a，+∞）， 由题意，必须，解得a＞1，…10分 由，f（a）＜0， 得x1∈（1，a），…12分 而f（a2）=a2﹣a﹣alna=a（a﹣1﹣lna）， 下面证明：a＞1时，a﹣1﹣lna＞0 设g（x）=x﹣1﹣lnx，x＞1 则， 所以g（x）在x＞1时递增，则g（x）＞g（1）=0， 所以f（a2）=a2﹣a﹣alna=a（a﹣1﹣lna）＞0， 又f（a）＜0， 所以x2∈（a，a2）， 综上，1＜x1＜a＜x2＜a2．                     …16分 【点评】本题考查了函数的单调性、根的存在性及根的个数判断．利用导数判断函数的单调性的步骤是：（1）确定函数的定义域；（2）求导数fˊ（x）；（3）在函数的定义域内解不等式fˊ（x）＞0和fˊ（x）＜0；（4）确定函数的单调区间．若在函数式中含字母系数，往往要分类讨论．

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