题目

设F1，F2分别为椭圆的左、右两个焦点，若椭圆C上的点A（1，）到F1，F2两点的距离之和等于4． （1）写出椭圆C的方程和焦点坐标； （2）过点P（1，）的直线与椭圆交于两点D、E，若DP=PE，求直线DE的方程； （3）过点Q（1，0）的直线与椭圆交于两点M、N，若△OMN面积取得最大，求直线MN的方程． 答案：【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的标准方程． 【专题】综合题；圆锥曲线中的最值与范围问题． 【分析】（1）把已知点的坐标代入椭圆方程，再由椭圆的定义知2a=4，从而求出椭圆的方程，由椭圆的方程求出焦点坐标． （2）设出DE方程，代入椭圆方程，利用中点坐标公式，求出斜率，即可求直线DE的方程； （3）（3）直线MN不与y轴垂直，设MN方程为my=x﹣1，代入椭圆C的方程，求出△OMN面积，利用导数，确定单调性，可得面积最大值，从而可求直线MN的方程． 【解答】解：（1）椭圆C的焦点在x轴上， 由椭圆上的点A到F1、F2两点的距离之和是4，得2a=4，即a=2， 又点A（1，） 在椭圆上，因此，得b2=1，于是c2=3， 所以椭圆C的方程为，…（4分） （2）显然直线DE斜率存在，设为k，方程为，设D（x1′，y1′），E（x2′，y2′），则 由，消去y可得 ∴，∴k=﹣1 ∴DE方程为y﹣1=﹣1（x﹣），即4x+4y=5；…（9分） （3）直线MN不与y轴垂直，设MN方程为my=x﹣1，代入椭圆C的方程得（m2+4）y2+2my﹣3=0， 设M（x1，y1），N（x2，y2），则y1+y2=﹣，y1y2=﹣，且△＞0成立． 又S△OMN=|y1﹣y2|=×=， 设t=≥，则S△OMN=， （t+）′=1﹣t﹣2＞0对t≥恒成立，∴t=时，t+取得最小，S△OMN最大，此时m=0， ∴MN方程为x=1；…（14分） 【点评】本题考查椭圆的标准方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查三角形面积的计算，正确运用韦达定理是关键． 　

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