题目

如图所示,R(0,-3),PM交y轴于点Q,且·=0, =.(1)当点P在x轴上移动时,求动点M的轨迹C;(2)若倾斜角为的直线L0与曲线C相切,求切线L0的方程;(3)设过点G(0,-1)的直线L与曲线C交于A、B两点,点D(0,1)满足∠ADB为钝角,求直线L斜率的取值范围. 答案：解:(1)设M(x,y),P(x1,0),Q(0,y2),则=(-x1,-3), =(x-x1,y),=(-x1,y2), =(x,y-y2).∵·=0, =,∴化简得x2=4y(x≠0),即动点M的轨迹C是顶点在原点,开口向上的抛物线除去顶点后的部分.(2)设L0与C切于点(x0,y0),∴y′=x.∴L0的斜率k0=x0=1.∴x0=2,y0=1,即切点为(2,1).故L0的方程为y=x-1.(3)设L的斜率为k,其方程为y=kx-1, 代入抛物线方程,得x2-4kx+4=0,则Δ=16k2-16＞0,即k2＞1.设A(x3,y3),B(x4,y4),则x3+x4=4k,x3x4=4.∵∠ADB是钝角且A、B、D三点不共线,∴·＜0.又=(x3,y3-1), =(x4,y4-1),∴x3x4+(y3-1)(y4-1)=x3x4+(kx3-2)(kx4-2)＜0.∴k2＞2.∴k＞或k＜-.∴直线L的斜率范围为(-∞,- )∪(,+∞).

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