题目

如图，已知圆C:(x+1)2+y2=r2(r为常数，且r＞2)，定点B(1，0)，A是圆C上的动点，直线AC与线段AB的垂直平分线l相交于点M．当点A在圆C上移动一周时，点M的轨迹记为曲线F．(1)求曲线F的方程；(2)求证：直线l与曲线F只有一个公共点M；(3)若r=4，点M在第一象限，且，记直线l与直线CM的夹角为，求tan． 答案：解：(1)连接MB，由题意有 |MC|+|MB|=|MC|+|MA|=|AC|=r  又r＞|BC|=2∴点M的轨迹是以C(-1,0),B(1,0)为焦点的椭圆∴a=   c=1∴曲线F的方程为：  (2)反证法：假设直线l与椭圆F还有另一个交点,连接C、B、A∵点在l上，有|C|+|B|=|C|+|A|＞|AC|=r  又点在F上,有  |C|+|B|=r,两者矛盾故假设不成立，原命题成立.  (3)∵r=4,故椭圆F方程为设点M（2cosθ,sinθ）则=(2cosθ+1,sinθ),=(2cosθ-1,sinθ),∴·=4cos2θ-1+3sin2θ=∴cos2θ=  ∴M(1,)  由（2）知l为椭圆F的切线，由,当y＞0时，有y=∴  ∴kl=  [由公式求kl不扣分（其中x1=1,y1=）]又kMC=故tanα=.

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