题目

已知函数f（x）=|x﹣2|﹣|2x﹣a|，a∈R． （1）当a=3时，解不等式f（x）＞0； （2）当x∈（﹣∞，2）时，f（x）＜0恒成立，求a的取值范围． 答案：【考点】绝对值不等式的解法． 【专题】综合题；函数的性质及应用． 【分析】（1）依题意知，a=3时，f（x）=，通过对x范围的分类讨论，解不等式f（x）＞0即可； （2）利用等价转化的思想，通过分离参数a，可知当x∈（﹣∞，2）时，a＜3x﹣2或a＞x+2恒成立，从而可求得a的取值范围． 【解答】解：（1）f（x）=，… 当x＞2时，1﹣x＞0，即x＜1，解得x∈∅； 当≤x≤2时，5﹣3x＞0，即x＜，解得≤x＜； 当x＜时，x﹣1＞0，即x＞1，解得1＜x＜； 综上所述，不等式的解集为{x|1＜x＜}．… （2）当x∈（﹣∞，2）时，f（x）＜0恒成立⇔2﹣x﹣|2x﹣a|＜0 ⇔2﹣x＜|2x﹣a|恒成立 ⇔2﹣x＜2x﹣a或2x﹣a＜x﹣2恒成立 ⇔x＞或x＜a﹣2恒成立， ∴当x∈（﹣∞，2）时，a＜3x﹣2①或a＞x+2②恒成立， 解①，a不存在；解②得：a≥4． 综上知，a≥4．… 【点评】本题考查绝对值不等式的解法，着重考查分类讨论思想与等价转化思想、函数与方程思想的综合运用，考查运算求解能力，属于难题． 　

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