题目

如图所示，AB为半圆O的直径，点D是半圆弧的中点，半径OC∥BD，过点C作AD的平行线交BA延长线于点E． （1）判断CE与半圆OD的位置关系，并证明你的结论． （2）若BD=4，求阴影部分面积． 答案：【考点】切线的判定；扇形面积的计算． 【分析】（1）直接利用圆周角定理结合平行线的性质得出CO⊥EC，即可得出答案； （2）利用已知得出△ADB为等腰直角三角形，进而得出△ECO为等腰直角三角形，由S阴影部分=S△ECD﹣S扇形AOC求出答案． 【解答】解：（1）CE与半圆OD相切， 理由：∵AB为直径， ∴∠ADB=90°， ∴AD⊥DB， ∵CO∥DB， ∴CO⊥AD， ∵EC∥AD， ∴CO⊥EC， ∴CE与半圆OD相切；   （2）∵点D平分半圆弧， ∴∠B=45°， ∴△ADB为等腰直角三角形， ∵BD=4， ∴AB=4， ∴CO=2， ∵CO∥DB， ∴∠AOC=∠ABD=45°， 由（1）知CO⊥EC， ∴△ECO为等腰直角三角形， ∴S阴影部分=S△ECD﹣S扇形AOC=（2）2﹣π（2）2=4﹣π． 【点评】此题主要考查了切线的判定以及等腰直角三角形的性质、扇形面积求法等知识，正确得出△ECO为等腰直角三角形是解题关键．

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