题目

如图①，在△ABC中，AB=AC，过AB上一点D作DE∥AC交BC于点E，以E为顶点，ED为一边，作∠DEF=∠A，另一边EF交AC于点F． （1）求证：四边形ADEF为平行四边形； （2）当点D为AB中点时，判断▱ADEF的形状； （3）延长图①中的DE到点G，使EG=DE，连接AE，AG，FG，得到图②，若AD=AG，判断四边形AEGF的形状，并说明理由． 答案：【答案】（1）证明见解析；（2）▱ADEF的形状为菱形，理由见解析；（3）四边形AEGF是矩形，理由见解析. 【解析】 【分析】 (1)根据平行线的性质得到∠BDE=∠A，根据题意得到∠DEF=∠BDE，根据平行线的判定定理得到AD∥EF，根据平行四边形的判定定理证明； (2)根据三角形中位线定理得到DE=AC，得到AD=DE，根据菱形的判定定理证明； (3)根据等腰三角形的性质得到AE⊥EG，根据有一个角是直角的平行四边形是矩形证明． 【详解】(1)证明：∵DE∥AC， ∴∠BDE=∠A， ∵∠DEF=∠A， ∴∠DEF=∠BDE， ∴AD∥EF，又∵DE∥AC， ∴四边形ADEF为平行四边形； (2)解：□ADEF的形状为菱形， 理由如下：∵点D为AB中点， ∴AD=AB， ∵DE∥AC，点D为AB中点， ∴DE=AC， ∵AB=AC， ∴AD=DE， ∴平行四边形ADEF为菱形， (3)四边形AEGF是矩形， 理由如下：由(1)得，四边形ADEF为平行四边形， ∴AF∥DE，AF=DE， ∵EG=DE， ∴AF∥DE，AF=GE， ∴四边形AEGF是平行四边形， ∵AD=AG，EG=DE， ∴AE⊥EG， ∴四边形AEGF是矩形． 故答案为：(1)证明见解析；(2)菱形；(3)矩形.

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