题目

设f(n)是定义在N*上的增函数，f(4)＝5，且满足： ①任意n∈N*，f(n)Z；②任意m，n∈N*，有f(m)f(n)＝f(mn)＋f(m＋n－1)． （1）求f(1)，f(2)，f(3)的值； （2）求f(n)的表达式． 答案：【考点】分段函数，抽象函数与复合函数 【试题解析】（1）因为f(1)f(4)＝f(4)＋f(4)，所以5 f(1)＝10，则f(1)＝2． 因为f(n)是单调增函数， 所以2＝f(1)＜f(2)＜f(3)＜f(4)＝5． 因为f(n)∈Z，所以f(2)＝3，f(3)＝4． （2）由（1）可猜想f (n)＝n+1． 证明：因为f (n)单调递增，所以f (n+1)＞f (n)，又f(n)∈Z， 所以f (n+1)≥f (n)+1． 首先证明：f (n)≥n+1． 因为f (1)＝2，所以n＝1时，命题成立． 假设n=k(k≥1)时命题成立，即f(k)≥k+1． 则f(k+1)≥f (k)+1≥k+2，即n＝k+1时，命题也成立． 综上，f (n)≥n+1． 由已知可得f (2)f (n)＝f (2n)＋f (n+1)，而f(2)＝3，f (2n)≥2n＋1， 所以3 f (n)≥f (n+1)＋2n＋1，即f(n+1)≤3 f (n)－2n－1． 下面证明：f (n)＝n+1． 因为f (1)＝2，所以n＝1时，命题成立． 假设n=k(k≥1)时命题成立，即f(k)＝k+1， 则f(k+1)≤3f (k)－2k－1＝3(k+1)－2k－1＝k＋2， 又f(k+1)≥k＋2，所以f(k+1)＝k＋2． 即n＝k+1时，命题也成立． 所以f (n)＝n+1 【答案】（1）f(1)＝2，f(2)＝3，f(3)＝4；（2）f (n)＝n+1

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