题目

已知椭圆=1的左、右焦点分别为F1、F2,过F1的直线交椭圆于B、D两点,过F2的直线交椭圆于A、C两点,且AC⊥BD,垂足为P.(1)设P点的坐标为(x0,y0),证明＜1;(2)求四边形ABCD的面积的最小值.(文)设{an}是等差数列,{bn}是各项都为正数的等比数列,且a1=b1=1,a3+b5=21,a5+b3=13.(1)求{an}、{bn}的通项公式;(2)求数列{}的前n项和Sn. 答案：答案： (1)证明:椭圆的半焦距c==1.由AC⊥BD知点P在以线段F1F2为直径的圆上,故x02+y02=1,所以≤=＜1.(2)解：①当BD的斜率k存在且k≠0时,BD的方程为y=k(x+1),代入椭圆方程=1,并化简,得(3k2+2)x2+6k2x+3k2-6=0.设B(x1,y1),D(x2,y2),则x1+x2=,x1x2=,|BD|=·|x1-x2|=;因为AC与BD相交于点P,且AC的斜率为-,所以|AC|=.四边形ABCD的面积为S=·|BD|·|AC|=,当k2=1时,上式取等号.②当BD的斜率k=0或斜率不存在时,四边形ABCD的面积S=4.综上,四边形ABCD的面积的最小值为.(文)解：(1)设{an}的公差为d,{bn}的公比为q,则依题意有q＞0且解得d=2,q=2.所以an=1+(n-1)d=2n-1,bn=qn-1=2n-1.(2)=.Sn=1+,                 ①2Sn=2+3++…+.                     ②②-①,得Sn=2+2+=2+2×(1++)=2+2×.

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