题目

已知，点M为二次函数y＝－(x－b)2＋4b＋1图象的顶点，直线y＝mx＋5分别交x的正半轴，y轴于点A，B. (1)判断顶点M是否在直线y＝4x＋1上，并说明理由； (2)如图1，若二次函数图象也经过点A，B，且mx＋5>－(x－b)2＋4b＋1.根据图象，写出x的取值范围； (3)如图2，点A坐标为(5，0)，点M在△AOB内，若点C(，y1)，D(，y2)都在二次函数图象上，试比较y1与y2的大小． 答案：解：(1)由题意知，点M的坐标是(b，4b＋1)， ∴把x＝b代入y＝4x＋1得y＝4b＋1， ∴点M在直线y＝4x＋1上． (2)∵直线y＝mx＋5与y轴交于点B， ∴点B坐标为(0，5)． 又∵B(0，5)在抛物线上， ∴5＝－(0－b)2＋4b＋1，解得b＝2， ∴二次函数的表达式为y＝－(x－2)2＋9， ∴当y＝0时，得x1＝5，x2＝－1，∴A(5，0)． 观察图象可得，当mx＋5>－(x－b)2＋4b＋1时， x的取值范围为x<0或x>5. (3)如图，∵直线y＝4x＋1与直线AB交于点E，与y轴交于点F， 而直线AB的表达式为y＝－x＋5， 解方程组 ∴点E(，)，F(0，1)． 点M在△AOB内，∴0<b<. 当点C，D关于抛物线对称轴对称时， b－＝－b，∴b＝，且二次函数图象的开口向下，顶点M在直线y＝4x＋1上． 综上所述，①当0<b<时，y1>y2； ②当b＝时，y1＝y2； ③当<b<时，y1<y2.

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