题目

数列{an}满足a1=1且an+1=(1+)an+(n≥1).（1）用数学归纳法证明：an≥2(n≥2)；（2）已知不等式ln(1+x)＜x对x＞0成立，证明：an＜e2(n≥1)，其中无理数e=2.718 28…. 答案：证明：（1）①当n=2时，a2=2≥2，不等式成立.②假设当n=k(k≥2)时不等式成立，即ak≥2(k≥2),那么ak+1=［1+］ak+≥2.这就是说，当n=k+1时不等式成立.根据①②可知：ak≥2对所有n≥2成立.（2）由递推公式及（1）的结论有an+1=(1+)an+≤(1++)an.(n≥1),两边取对数并利用已知不等式得lnan+1≤ln(1++)+lnan≤lnan++.故lnan+1-lnan≤1+(n≥1).上式从1到n-1求和可得lnan-lna1≤.即lnan＜2,故an＜e2(n≥1).

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