题目

设双曲线C:-y2=1(a＞0)与直线l:x+y=1相交于两个不同的点A、B.(1)求双曲线C的离心率e的取值范围;(2)设直线l与y轴的交点为P,且=,求a的值. 答案：解：(1)由C与l相交于两个不同的点,故知方程组有两个不同的实数解,消去y并整理得(1-a2)x2+2a2x-2a2=0.                     ① 所以解得0＜a＜且a≠1.双曲线的离心率e==,∵0＜a＜且a≠1,∴e＞且e≠,即离心率e的取值范围为(,)∪(,+∞).(2)设A(x1,y1),B(x2,y2),P(0,1),∵=,∴(x1,y1-1)=(x2,y2-1).由此得x1=x2.由于x1、x2都是方程①的根,且1-a2≠0,所以x2=-,x22=-.消去x2得-=.又a＞0,所以a=.

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