题目

如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，平面ABC⊥侧面A1ABB1. （Ⅰ）求证：AB⊥BC； （Ⅱ）若直线AC与平面A1BC所成的角为θ,二面角A1-BC-A的大小为φ，试判断θ与φ的大小关系，并予以证明. 答案： （Ⅰ）证明：如下图，过点A在平面A1ABB1内作AD⊥A1B于D，则由平面A1BC⊥侧面A1ABB1,且平面A1BC侧面A1ABB1=A1B,得AD⊥平面A1BC,又BC平面A1BC，                                                                                         所以AD⊥BC． 因为三棱柱ABC―A1B1C1是直三棱柱， 则AA1⊥底面ABC， 所以AA1⊥BC． 又AA1AD=A,从而BC⊥侧面A1ABB1， 又AB侧面A1ABB1，故AB⊥BC． （Ⅱ）解法1：连接CD，则由（Ⅰ）知是直线AC与平面A1BC所成的角， 是二面角A1―BC―A的平面角，即 于是在Rt△ADC中，在Rt△ADB中， 由AB＜AC，得又所以 解法2：由（Ⅰ）知，以点B为坐标原点，以BC、BA、BB1所在的直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 设AA1=a,AC=b,AB=c,则 B(0,0,0), A(0,c,0), 于是 设平面A1BC的一个法向量为n=(x,y,z)，则 由得 可取n=(0,-a,c)，于是,与n的夹角为锐角，则与互为余角. 所以 于是由c＜b，得 即又所以

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