题目

（本小题满分13分） 如图所示，椭圆C：的一个焦点为 F(1,0)，且过点。 (1)求椭圆C的方程; (2)已知A、B为椭圆上的点，且直线AB垂直于轴，   直线：＝4与轴交于点N，直线AF与BN交 于点M。 (ⅰ)求证：点M恒在椭圆C上； (ⅱ)求△AMN面积的最大值． 答案：(1)解：由题设，从而， 所以椭圆C的方程为                    ………………………………3分 (2)(i)证明：由题意得F(1,0)、N(4,0)． 设，则，. AF与BN的方程分别为： . 设，则有 由上得                      ………………………………6分 由于 ＝＝1. 所以点M恒在椭圆C上．                                 ………………………………8分 (ⅱ)解：设AM的方程为，代入， 得 设、，则有，. ＝＝. ………………………10分 令，则 ＝ 因为函数在为增函数， 所以当即时，函数有最小值4. 即时,有最大值3，                    △AMN的面积S△AMN＝·有最大值 .        …………………13分

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