题目

如图，在矩形ABCD中，AB=4，AD=6，M，N分别是AB，CD的中点，P是AD上的点，且∠PNB=3∠CBN． （1）求证：∠PNM=2∠CBN； （2）求线段AP的长． 答案：       （1）由MN∥BC，易得∠CBN=∠MNB，由已知∠PNB=3∠CBN，根据角的和差不难得出结论； （2）连接AN，根据矩形的轴对称性，可知∠PAN=∠CBN，由（1）知∠PNM=2∠CBN=2∠PAN，由AD∥MN，可知∠PAN=∠ANM，所以∠PAN=∠PNA，根据等角对等边得到AP=PN，再用勾股定理列方程求出AP． 解答：    解：（1）∵四边形ABCD是矩形，M，N分别是AB，CD的中点， ∴MN∥BC， ∴∠CBN=∠MNB， ∵∠PNB=3∠CBN， ∴∠PNM=2∠CBN； （2）连接AN， 根据矩形的轴对称性，可知∠PAN=∠CBN， ∵MN∥AD， ∴∠PAN=∠ANM， 由（1）知∠PNM=2∠CBN， ∴∠PAN=∠PNA， ∴AP=PN， ∵AB=CD=4，M，N分别为AB，CD的中点， ∴DN=2， 设AP=x，则PD=6﹣x， 在Rt△PDN中 PD2+DN2=PN2， ∴（6﹣x）2+22=x2， 解得：x= 所以AP=．

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