题目

如图，已知抛物线y＝x2+3x﹣8的图象与x轴交于A，B两点（点A在点B的右侧），与y轴交于点C． （1）求直线BC的解析式； （2）点F是直线BC下方抛物线上的一点，当△BCF的面积最大时，在抛物线的对称轴上找一点P，使得△BFP的周长最小，请求出点F的坐标和点P的坐标； （3）在（2）的条件下，是否存在这样的点Q（0，m），使得△BFQ为等腰三角形？如果有，请直接写出点Q的坐标；如果没有，请说明理由． 答案：解：（1）对于抛物线y＝x2+3x﹣8， 令y＝0，得到x2+3x﹣8＝0，解得x＝﹣8或2， ∴B（﹣8，0），A（2，0）， 令x＝0，得到y＝﹣8， ∴A（2，0），B（﹣8，0），C（0，﹣8）， 设直线BC的解析式为y＝kx+b，则有， 解得， ∴直线BC的解析式为y＝﹣x﹣8． （2）如图1中，作FN∥y轴交BC于N．设F（m， m2+3m﹣8），则N（m，﹣m﹣8） ∴S△FBC＝S△FNB+S△FNC＝•FN×8＝4FN＝4[（﹣m﹣8）﹣（m2+3m﹣8）]＝﹣2m2﹣16m＝﹣2（m+4）2+32， ∴当m＝﹣4时，△FBC的面积有最大值， 此时F（﹣4，﹣12）， ∵抛物线的对称轴x＝﹣3， 点B关于对称轴的对称点是A，连接AF交对称轴于P，此时△BFP的周长最小， 设直线AF的解析式为y＝ax+b，则有， 解得， ∴直线AF的解析式为y＝2x﹣4， ∴P（﹣3，﹣10）， ∴点F的坐标和点P的坐标分别是F（﹣4，﹣12），P（﹣3，﹣10）． （3）如图2中， ∵B（﹣8，0），F（﹣4，﹣12）， ∴BF＝＝4， ①当FQ1＝FB时，Q1（0，0）或（0，﹣24）（虽然FB＝FQ，但是B.F、Q三点一线应该舍去）． ②当BF＝BQ时，易知Q2（0，﹣4），Q3（0，4）． ③当Q4B＝Q4F时，设Q4（0，m）， 则有82+m2＝42+（m+12）2， 解得m＝﹣4， ∴Q4（0，﹣4）， ∴Q点坐标为（0，0）或（0，4）或（0，﹣4）或（0，﹣4）．

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